Para solucionar essa questão, vamos analisar cada uma das proposições e verificar se são verdadeiras ou falsas: I) Em todo triângulo retângulo, a medida da altura relativa à hipotenusa é a média proporcional entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Vamos considerar um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, e altura BD relativa à hipotenusa AC. Projetando os catetos BA e BC sobre a hipotenusa AC, obtemos pontos E e F, respectivamente. Então, podemos escrever: BD^2 = BE * CF, onde BD é a altura, BE é a projeção do cateto BC e CF é a projeção do cateto BA. A expressão acima é uma propriedade do triângulo retângulo, que nos indica que a altura é a média proporcional entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Portanto, a proposição I é verdadeira. II) Todo ângulo inscrito em um círculo tem medida igual à medida do arco que o compreende. Essa proposição é falsa. Na verdade, a medida de um ângulo inscrito em um círculo é igual à metade da medida do arco que o compreende. III) Um quadrilátero pode ser inscrito em um círculo se, e somente se, possui um par de ângulos opostos suplementares. Essa proposição é verdadeira. Um quadrilátero pode ser inscrito em um círculo quando a soma de um par de ângulos opostos é igual a 180º, ou seja, são suplementares. Essa é uma propriedade conhecida como a condição de quadriláteros inscritíveis. Dessa forma, temos que as proposições I e III são verdadeiras, e a resposta correta é "I e III".