Banco de questões: Geometria Espacial: Deformações em Projeções

Um cartógrafo está desenvolvendo um mapa de uma região extensa utilizando projeções cilíndrica e cônica. Ele observa que cada tipo de projeção provoca deformações distintas nos ângulos e nas áreas representadas. Considerando que a projeção cilíndrica distorce mais as áreas próximo aos polos e a projeção cônica preserva melhor as áreas próximas à linha de contato, qual projeção o cartógrafo deve escolher para mapear uma região com maior extensão na latitude média, a fim de minimizar a distorção das áreas?

Para a elaboração de mapas e representações cartográficas, diversos tipos de projeções são utilizados. Com relação às deformações em ângulos e áreas provocadas pelas diferentes projeções, é possível afirmar que:

Um cartógrafo está projetando um mapa de uma região que tem a forma de um cone. Para garantir que a projeção cônica seja fidedigna, ele precisa levar em consideração a deformação que ocorre nas áreas e nos ângulos quando se mapeia uma superfície esférica em um plano. Sejam A e B dois pontos em um mapa que estão à mesma distância do ponto de tangência entre o cone e o plano de projeção. O ponto A encontra-se mais próximo do ponto de tangência que o ponto B. Se os pontos A e B representam cidades reais em uma montanha, e a distância entre elas é de 10 km no terreno, o cartógrafo sabe que a distância entre A e B no mapa é de 5 cm. Considerando que a distância do ponto de tangência ao ponto A é de 4 cm e ao ponto B é de 3 cm, calcule a distância real na montanha entre os pontos A e B. Utilize o fato de que, em uma projeção cônica, as áreas sofrem uma deformação proporcional ao quadrado da distância do ponto de tangência, e que os ângulos são preservados apenas no ponto de tangência.