Banco de questões: Geometria Analítica: Equação da Reta

Um engenheiro está projetando uma nova estrada que passará por uma região montanhosa. Ele precisa desenhar um trecho reto da estrada que conecte dois pontos A e B, cujas coordenadas são A(3, 5) e B(9, 1) respectivamente. O engenheiro deseja que a estrada siga uma linha que minimize o corte na montanha, o que significa que ele quer que a estrada seja a mais curta possível entre os pontos A e B. Determine a equação da reta que representa o trecho de estrada a ser construído, utilizando a fórmula geral da reta ax + by + c = 0. Em seguida, identifique os coeficientes a, b e c, explicando como eles representam as características geométricas da reta. Considere que a reta que minimiza a distância entre dois pontos é a reta que passa pelo ponto médio do segmento que une esses dois pontos e é perpendicular a esse segmento.

Uma torre de controle em um aeroporto precisa monitorar o tráfego aéreo de forma eficiente e segura. Para isso, é essencial que os controladores de tráfego aéreo tenham um bom entendimento de geometria analítica para prever as trajetórias das aeronaves. Considere a situação em que uma aeronave A, com coordenadas (3, 5), está se aproximando de uma aeronave B, localizada na origem do sistema de coordenadas. A torre de controle precisa determinar se a aeronave A está em rota de colisão com a aeronave B, que está voando em linha reta para o ponto (7, 11). A rota da aeronave B é descrita pela equação da reta que passa pela origem e pelo ponto (7, 11). Use seus conhecimentos de geometria analítica para resolver os seguintes itens: 1) Determine a equação da reta que descreve a trajetória da aeronave B. 2) Utilizando a equação da reta encontrada no item 1, determine se a aeronave A está em rota de colisão com a aeronave B, considerando que uma colisão ocorrerá se a distância entre as duas aeronaves for menor que 2 unidades. Caso as aeronaves estejam em rota de colisão, proponha uma alternativa para evitar a colisão, considerando que a aeronave A pode alterar sua trajetória para uma reta que passe pela origem e mantenha-se a uma distância segura da aeronave B.

Uma torre de observação, localizada no ponto (3,4), possui uma escada que forma um ângulo de 30 graus com o nível do solo. A escada está apoiada no chão e na torre. Considerando a torre como um ponto no plano cartesiano, determine a equação da reta que representa a escada, sabendo que a escada forma um triângulo retângulo com o chão e a torre, e que o comprimento da escada é de 10 unidades. Use trigonometria para determinar a inclinação da reta e a tangente do ângulo formado pela escada com o eixo x. Em seguida, escreva a equação da reta no formato ax + by + c = 0, onde a, b e c são constantes a serem determinadas.