Banco de questões: Análise Combinatória: Fatorial

Em uma oficina de matemática, os alunos estão estudando expressões envolvendo fatoriais para resolver problemas de combinatória. Considere a expressão 6!/4! × 2!. Utilizando as propriedades dos fatoriais, qual é o valor dessa operação?

Uma empresa de tecnologia está desenvolvendo um novo sistema de criptografia baseado em um algoritmo que envolve a combinação de chaves digitais. O sistema exige que cada chave seja composta por 4 caracteres, sendo que cada caractere pode ser uma letra maiúscula ou um dígito de 0 a 9, e nenhum caractere pode se repetir dentro de uma mesma chave. Além disso, as chaves devem ser geradas de forma que a ordem dos caracteres seja relevante, ou seja, 'ABC1' e '1ABC' são chaves distintas. Para garantir a segurança do sistema, a empresa decide que cada chave gerada pelo algoritmo deve ser testada contra um banco de dados, o que implica que a ordem de teste das chaves também é relevante. Se a empresa possui um total de 36 letras maiúsculas e 10 dígitos disponíveis para formar as chaves, quantas chaves distintas podem ser geradas e testadas pelo sistema? Considerando que o cálculo do fatorial de um número n é dado por n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1, determine o valor do fatorial de 46 e explique como ele está relacionado com a quantidade de chaves possíveis no contexto do problema.

Uma biblioteca possui 10 livros distintos distribuídos em três áreas do conhecimento: 4 de Exatas, 3 de Humanas e 3 de Biológicas. O administrador deseja organizar esses livros em uma prateleira de forma que ou todos os livros de Exatas fiquem juntos ou todos os livros de Humanas fiquem juntos, mas não simultaneamente. Considerando que a ordem dos livros na prateleira importa, de quantas maneiras diferentes a organização pode ser realizada obedecendo a essas condições?

Em um torneio de xadrez, um jogador deseja determinar de quantas maneiras diferentes ele pode dispor suas peças na primeira fileira do tabuleiro, de forma que ele tenha 3 peões, 2 cavalos, 2 bispos e 1 torre. Como as peças são idênticas entre si em suas categorias (ou seja, todos os peões são iguais entre si, assim como todos os cavalos, bispos e a torre), o jogador está interessado apenas na disposição das peças, não em sua identidade individual. Considerando que o tabuleiro de xadrez tem 8 casas na primeira fileira, calcule o número de maneiras distintas que o jogador pode arranjar suas peças.

Em um evento, 3 prêmios distintos serão entregues a 3 entre 5 participantes, com cada prêmio sendo exclusivo para um participante. Quantas maneiras diferentes existem para distribuir esses prêmios?