Banco de questões: Polinômios: Raízes

Um arquiteto está planejando a estrutura de um arco, cuja força de sustentação pode ser representada por um polinômio de terceiro grau: F(x) = x³ - 6x² + 11x - 6. Para garantir a estabilidade da construção, é essencial determinar os pontos onde a força é nula, ou seja, as raízes do polinômio. Quais são as raízes desta função polinomial?

Um engenheiro está projetando uma trajetória parabólica para o lançamento de um foguete na forma de um polinômio de 2º grau, y = ax^2 + bx + c, onde x representa a distância horizontal percorrida pelo foguete e y é a altura em relação ao solo. O projetista sabe que a altura máxima do foguete será de 10m e isso ocorrerá quando ele tiver percorrido 5m horizontalmente. Além disso, a altura inicial e a distância horizontal percorrida no início são ambas 0. A partir dessas informações: (a) Determine os coeficientes a, b e c do polinômio. (b) Determine a equação completa que modela a altura do foguete em relação à distância horizontal percorrida. (c) Calcule as raízes do polinômio para encontrar os momentos em que o foguete atinge o solo novamente.

Considere um polinômio P(x) de grau 6, onde todos os coeficientes são números inteiros. Sabe-se que P(1) = 10, P(2) = 20 e P(3) = 30. Além disso, é informado que P(x) possui duas raízes reais iguais a 1 e 2, e quatro raízes complexas não reais. Com base nessas informações: 1. Demonstre que o polinômio P(x) possui pelo menos mais uma raiz real. 2. Explique como a presença de raízes complexas conjugadas afeta a relação entre os coeficientes do polinômio P(x).

Um time de cientistas descobriu um novo material com propriedades elásticas que variam de acordo com a temperatura. A relação entre a elasticidade (E) e a temperatura (t) pode ser representada por um polinômio do 3º grau: E(t) = 2t³ - 5t² + 3t + 10. Primeiro, encontre as possíveis temperaturas em que a elasticidade do material será zero. Em seguida, explique qual é o comportamento do material em relação à temperatura com base no gráfico de E(t) x t. Por fim, determine a temperatura onde a elasticidade será máxima ou mínima.