Banco de questões: Números Complexos: Potências de i

Em um laboratório de física, os estudantes estão estudando a representação de rotações no plano complexo. Para determinar a posição de um ponto após várias rotações, é necessário calcular potências de i, a unidade imaginária. Qual é o valor de i⁷?

Durante uma investigação sobre o comportamento das potências de i, onde i é a unidade imaginária, três alunos propuseram conjecturas distintas. Alex afirmou que i^4 equivale a -1, Bia sugeriu que i^6 é igual a -i e Cláudio acredita que a sequência de potências de i se repete a cada 6 termos. a) Demonstre a veracidade ou falsidade da afirmação de Alex através do cálculo de i^4. b) Calcule o valor de i^6 e analise se a afirmação de Bia está correta. c) Verifique a sequência de potências de i nos 12 primeiros termos e discuta a validade da afirmação de Cláudio.

Durante um experimento de eletrônica, um engenheiro utiliza a unidade imaginária i para representar correntes alternadas. Para calcular a resposta do circuito, ele precisa determinar a potência de i elevada à sétima. Qual é o valor de i^7?

Considere o número complexo z = (1 + i)^2022, onde i é a unidade imaginária. Utilizando propriedades dos números complexos, como a periodicidade de i e o fato de que i^2 = -1, determine o valor exato de z e justifique sua resposta detalhando o processo passo a passo. Além disso, discuta como a aplicação de números complexos e suas propriedades pode ser útil na modelagem matemática de fenômenos interdisciplinares, como na física de ondas ou em engenharia de sinais.

Em uma aplicação de engenharia elétrica, é comum o uso de números complexos para representar correntes alternadas. O número complexo i, unidade imaginária, é frequentemente utilizado para descrever fases de correntes. Considere o número complexo z = 1 + i. Sabe-se que i elevado à quarta potência resulta em 1. Com base nessa informação e no conhecimento sobre propriedades de potências de números complexos, responda: (1) Qual é o resultado da potência z elevado a 2019? (2) Como se comportam as potências da forma z elevado a n, para um número inteiro n, e qual é a interpretação geométrica desse fenômeno? Justifique sua resposta com base nas propriedades dos números complexos e do produto de potências com a mesma base.