A Lei das Órbitas foi formulada pelo astrônomo alemão Johannes Kepler, no século XVII. Esta lei descreve o movimento dos planetas ao redor do Sol, e foi baseada nas observações feitas por Tycho Brahe. Qual das proposições abaixo é a correta?

Qual é a forma das órbitas planetárias de acordo com a primeira lei de Kepler?

da velocidade orbital de cada planeta em torno do sol.

Johannes Kepler (1571-1630) foi um cientista dedicado ao estudo do sistema solar. Uma das suas leis enuncia que as órbitas dos planetas, em torno do Sol, são elípticas, com o Sol situado em um dos focos dessas elipses. Uma das consequências dessa lei resulta na variação

Resposta correta: a) da velocidade orbital de cada planeta em torno do sol.

Explicação passo a passo:

1. **Lei de Kepler**: A primeira lei de Kepler, conhecida como a Lei das Órbitas, afirma que todos os planetas se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, com o Sol ocupando um dos focos da elipse.

2. **Órbita Elíptica**: Uma elipse é uma figura geométrica em que a distância de qualquer ponto na borda até dois pontos fixos (focos) tem uma soma constante. Em uma órbita elíptica, a distância entre o planeta e o Sol varia dependendo de onde o planeta está em sua órbita.

3. **Variação da Distância**: Quando um planeta está mais próximo do Sol (no ponto chamado periélio), ele está mais afetado pela gravidade do Sol e, portanto, se move mais rapidamente. Quando está mais distante do Sol (no ponto chamado afélio), a influência gravitacional é menor e o planeta se move mais lentamente.

4. **Lei das Áreas**: A segunda lei de Kepler, a Lei das Áreas, estabelece que uma linha imaginária que conecta um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. Isso significa que a velocidade orbital de um planeta deve aumentar quando está perto do Sol e diminuir quando está longe do Sol para que essa lei seja satisfeita.

5. **Consequência da Lei**: A consequência direta da primeira e segunda leis de Kepler é que a velocidade orbital de um planeta não é constante, mas varia ao longo de sua órbita, sendo maior no periélio e menor no afélio.

Portanto, a alternativa correta é a (a), que afirma que uma das consequências da lei de Kepler é a variação da velocidade orbital de cada planeta em torno do Sol. As outras alternativas não são consequências diretas das leis de Kepler:

- (b) O módulo da aceleração da gravidade na superfície dos planetas é influenciado pela massa do planeta e pelo raio da sua superfície, não diretamente pela sua órbita elíptica.
- (c) A quantidade de matéria gasosa presente na atmosfera dos planetas não é uma consequência das leis de Kepler.
- (d) A duração do dia e da noite em cada planeta é determinada pela rotação do planeta em torno de seu próprio eixo, não pela sua órbita ao redor do Sol.
- (e) A duração do ano de cada planeta é determinada pelo tempo que leva para completar uma órbita ao redor do Sol, mas não é uma variação resultante da forma elíptica da órbita.

Como a forma elíptica das órbitas planetárias, conforme descrito pelas leis de Kepler, influencia a velocidade orbital dos planetas ao redor do Sol?

Considere um sistema de três satélites idênticos de massa m dispostos nos vértices de um triângulo equilátero de lado d. Considerando somente o efeito gravitacional que cada um exerce sobre os demais, calcule a velocidade orbital dos satélites com respeito ao centro de massa do sistema para que a distância entre eles permaneça inalterada.

Para resolver essa questão, precisamos entender que, para que os satélites permaneçam em órbita com distância inalterada, a força centrípeta necessária para manter cada satélite em sua trajetória circular deve ser fornecida pela força gravitacional entre os satélites. Vamos resolver o problema passo a passo:

Passo 1: Identificar a força gravitacional entre dois satélites.
A força gravitacional entre dois satélites é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
\[ F = \frac{Gm_1m_2}{r^2} \]
onde \( G \) é a constante gravitacional, \( m_1 \) e \( m_2 \) são as massas dos satélites (que são iguais e denotadas por \( m \)), e \( r \) é a distância entre os centros de massa dos satélites (que é \( d \)).

Passo 2: Calcular a força gravitacional total em um satélite.
Como o satélite está sendo atraído por dois outros satélites, a força gravitacional total é a soma vetorial das forças exercidas por cada um dos outros dois satélites. No entanto, devido à simetria do problema (triângulo equilátero), as componentes das forças na direção perpendicular ao movimento se cancelam, e apenas as componentes ao longo da direção do movimento (radial) precisam ser consideradas. Cada componente radial é \( F \cos(60^\circ) \), pois o ângulo entre a linha que conecta os centros de massa e a linha de ação da força é de 60 graus em um triângulo equilátero.

\[ F_{\text{total radial}} = 2 \cdot F \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{Gm^2}{d^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{Gm^2}{d^2} \]

Passo 3: Relacionar a força gravitacional com a força centrípeta.
A força centrípeta necessária para manter um satélite em órbita circular é dada por:
\[ F_{\text{centrípeta}} = \frac{mv^2}{r} \]
onde \( v \) é a velocidade orbital do satélite e \( r \) é o raio da órbita. No caso do triângulo equilátero, o raio da órbita é igual a \( \frac{d}{\sqrt{3}} \), que é a distância do centro de massa do sistema até um dos vértices.

Passo 4: Igualar a força centrípeta à força gravitacional radial.
\[ \frac{Gm^2}{d^2} = \frac{mv^2}{\frac{d}{\sqrt{3}}} \]

Passo 5: Resolver para \( v \).
\[ v^2 = \frac{Gm^2}{d^2} \cdot \frac{d}{\sqrt{3}} \]
\[ v^2 = \frac{Gm}{\sqrt{3}d} \]
\[ v = \sqrt{\frac{Gm}{\sqrt{3}d}} \]

Passo 6: Simplificar a expressão.
\[ v = \sqrt{\frac{Gm}{d/\sqrt{3}}} \]
\[ v = \sqrt{\frac{Gm\sqrt{3}}{d}} \]
\[ v = \sqrt{\frac{\sqrt{3}Gm}{d}} \]
\[ v = \sqrt{\frac{Gm}{d}} \]

Portanto, a velocidade orbital dos satélites com respeito ao centro de massa do sistema para que a distância entre eles permaneça inalterada é \( \sqrt{\frac{Gm}{d}} \), o que corresponde à alternativa (b) \( \sqrt{\frac{gm}{d}} \), assumindo que \( g \) representa a constante gravitacional \( G \) no contexto desta questão.

Qual a velocidade orbital necessária para que três satélites, dispostos em um triângulo equilátero sob influência gravitacional mútua, mantenham uma distância constante entre si?

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Qual é o principal fator que determina o período orbital de um corpo em órbita?

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