Seja $P_n$ a probabilidade de a quarta cara sair exatamente no $n$-ésimo lançamento. Para que este evento ocorra, duas condições devem ser satisfeitas: 1. Nos primeiros $n-1$ lançamentos, devem ter ocorrido exatamente 3 caras. 2. O $n$-ésimo lançamento deve ser uma cara. A moeda é não viciada, então a probabilidade de sair cara (sucesso) é $p = 1/2$, e a probabilidade de sair coroa (fracasso) é $q = 1-p = 1/2$. A probabilidade de ocorrerem 3 caras nos primeiros $n-1$ lançamentos é dada pela distribuição binomial: $C(n-1, 3) \times p^3 \times q^{(n-1)-3} = C(n-1, 3) \times (1/2)^3 \times (1/2)^{n-4} = C(n-1, 3) \times (1/2)^{n-1}$. A probabilidade de o $n$-ésimo lançamento ser uma cara é $p = 1/2$. Portanto, a probabilidade $P_n$ é o produto destas duas probabilidades: $P_n = C(n-1, 3) \times (1/2)^{n-1} \times (1/2) = C(n-1, 3) \times (1/2)^n$. O número $n$ deve ser no mínimo 4, pois não é possível obter 4 caras em menos de 4 lançamentos. Assim, $n \ge 4$. A expressão para $C(n-1, 3)$ é $\frac{(n-1)!}{3!((n-1)-3)!} = \frac{(n-1)!}{3!(n-4)!} = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}$. Então, $P_n = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6} \times (1/2)^n$. Para encontrar os valores de $n$ que maximizam $P_n$, analisamos a razão entre $P_{n+1}$ e $P_n$. A probabilidade $P_n$ aumenta enquanto $P_{n+1}/P_n > 1$ e diminui quando $P_{n+1}/P_n < 1$. O máximo ocorre quando a razão é igual a 1 ou quando a razão muda de maior que 1 para menor que 1. Calculando a razão $P_{n+1}/P_n$: $P_{n+1} = C(n, 3) \times (1/2)^{n+1}$ $P_n = C(n-1, 3) \times (1/2)^n$ $\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{C(n, 3) \times (1/2)^{n+1}}{C(n-1, 3) \times (1/2)^n} = \frac{C(n, 3)}{C(n-1, 3)} \times \frac{1}{2}$. Simplificando a razão dos coeficientes binomiais: $C(n, 3) = \frac{n!}{3!(n-3)!}$ $C(n-1, 3) = \frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}$ $\frac{C(n, 3)}{C(n-1, 3)} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \times \frac{3!(n-4)!}{(n-1)!} = \frac{n}{(n-3)}$. Assim, a razão é: $\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{n}{n-3} \times \frac{1}{2} = \frac{n}{2(n-3)}$. Agora, analisamos o comportamento da razão para determinar os valores de $n$: 1. **Quando $P_{n+1} > P_n$**: A probabilidade está aumentando. Isso ocorre se $\frac{n}{2(n-3)} > 1$. $n > 2(n-3)$ $n > 2n - 6$ $6 > n$, ou seja, $n < 6$. Portanto, para $n=4$ e $n=5$, a probabilidade está aumentando ($P_5 > P_4$ e $P_6 > P_5$). 2. **Quando $P_{n+1} = P_n$**: A probabilidade atinge um patamar ou um dos pontos de máximo. Isso ocorre se $\frac{n}{2(n-3)} = 1$. $n = 2(n-3)$ $n = 2n - 6$ $n = 6$. Isso significa que para $n=6$, $P_7 = P_6$. 3. **Quando $P_{n+1} < P_n$**: A probabilidade está diminuindo. Isso ocorre se $\frac{n}{2(n-3)} < 1$. $n < 2(n-3)$ $n < 2n - 6$ $6 < n$, ou seja, $n > 6$. Portanto, para $n=7, 8, \dots$, a probabilidade está diminuindo ($P_8 < P_7$, $P_9 < P_8$, etc.). Juntando essas informações, podemos descrever a sequência de probabilidades: $P_4 < P_5 < P_6 = P_7 > P_8 > P_9 > \dots$ Isso indica que os valores de $n$ que maximizam a probabilidade são $n=6$ e $n=7$. Podemos calcular os valores para confirmar: $P_4 = C(3,3) \times (1/2)^4 = 1 \times (1/16) = 1/16 = 4/64$ $P_5 = C(4,3) \times (1/2)^5 = 4 \times (1/32) = 4/32 = 8/64$ $P_6 = C(5,3) \times (1/2)^6 = 10 \times (1/64) = 10/64$ $P_7 = C(6,3) \times (1/2)^7 = 20 \times (1/128) = 20/128 = 10/64$ $P_8 = C(7,3) \times (1/2)^8 = 35 \times (1/256) = 35/256$ Comparando $P_7$ e $P_8$: $10/64 = 40/256$, então $P_7 = 40/256 > P_8 = 35/256$. Assim, os valores de $n$ que maximizam a probabilidade são 6 e 7. Os valores de $n$ que maximizam a probabilidade são **6 e 7**.