Para calcular a área da projeção ortogonal de um cubo sobre um plano perpendicular a uma de suas diagonais, primeiramente, precisamos identificar a forma geométrica resultante da projeção. 1. **Identificação da forma da projeção:** Quando um cubo é projetado ortogonalmente sobre um plano perpendicular a uma de suas diagonais principais, a projeção resultante é um **hexágono regular**. * As duas extremidades da diagonal principal (opostas) projetam-se no mesmo ponto, que será o centro do hexágono. * Os seis vértices restantes do cubo (aqueles que não estão na diagonal escolhida) são equidistantes dessa diagonal e formam, por simetria, os vértices de um hexágono regular no plano de projeção. 2. **Cálculo do lado do hexágono regular (s):** Considere um cubo de aresta $a=2$. Vamos posicionar o cubo em um sistema de coordenadas cartesianas com um vértice na origem $(0,0,0)$ e arestas alinhadas aos eixos. A diagonal principal pode ser a que liga $(0,0,0)$ a $(a,a,a)$. O vetor direção da diagonal é $\vec{d} = (a,a,a)$. O lado do hexágono de projeção é a distância de qualquer um dos seis vértices intermediários à diagonal principal. Escolhamos o vértice $P = (a,0,0)$. A distância $s$ de um ponto $P$ a uma linha que passa pela origem e tem vetor diretor $\vec{d}$ é dada por $s = \frac{||\vec{OP} \times \vec{d}||}{||\vec{d}||}$. * Vetor $\vec{OP} = (a,0,0)$. * Vetor $\vec{d} = (a,a,a)$. Para simplificar, podemos usar o vetor diretor unitário ou apenas $(1,1,1)$ e ajustar a magnitude depois, mas usar $(a,a,a)$ diretamente é igualmente válido. Calculando o produto vetorial $\vec{OP} \times \vec{d}$: $\vec{OP} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a)$ $= \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(a^2) + \mathbf{k}(a^2) = (0, -a^2, a^2)$. Calculando a magnitude do produto vetorial: $||\vec{OP} \times \vec{d}|| = \sqrt{0^2 + (-a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{2a^4} = a^2\sqrt{2}$. Calculando a magnitude do vetor diretor $\vec{d}$: $||\vec{d}|| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. Agora, calculamos o lado $s$ do hexágono: $s = \frac{a^2\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. 3. **Cálculo da área do hexágono regular:** A área de um hexágono regular com lado $s$ é dada pela fórmula $A = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$. Substituímos o valor de $s$: $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2$ $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{a^2 \cdot 6}{9}\right)$ $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2a^2}{3}\right)$ $A = \sqrt{3}a^2$. 4. **Substituição do valor da aresta:** A aresta do cubo é $a=2$. $A = \sqrt{3}(2)^2$ $A = \sqrt{3}(4)$ $A = 4\sqrt{3}$. Portanto, a área da projeção ortogonal do cubo é $4\sqrt{3}$. The final answer is $\boxed{4\sqrt{3}}$.